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    至于超巨大基数到底有多么巨大，这便又是一个较为复杂的问题了。

    首先，其与超紧致基数之间，就存在有诸多庞大的高阶大基数。

    譬如，毗邻超紧致基数「比较近」的一个大基数，即是可扩展基数。

    这一大基数的根本定义和数理结构，则是……若一个基数δ被称为可扩展的，那么它对于每个λ＞δ，都将存在一个e＜λ的初始段vλ，以及一个从vλ到ve的元素嵌入映射π，继而满足π(δ)=δ且π不是恒等映射这一结果。

    这一数理定义用大白话来讲，便是意味着可扩展基数能够「伸展」到比它自身更小的宇宙模型当中，同时又保持一定的自身结构特性。

    非常神奇。

    另外，所谓的「可扩展性」，恰恰就是「强紧凑性」的二阶类比。

    同时，除却可扩展基数以外。

    超巨大基数之下还赫然存在着巨大基数、殆巨大基数，以及沃彭卡原理。

    所谓沃彭卡原理，即是与集合论、范畴论、模型论密切相关的一种重要数学原理。

    其主要内容简单概括起来，即是对于一些语言的任意真类结构，都存在一个初等嵌入，可以嵌入至另一个真类结构内的成员中。

    因此，通过这一原理可以导出一系列关于真类结构与初等嵌入的性质。

    这些性质，又会关系到不可达基数和它们在模型理论当中的种种应用。

    接着莅立于沃彭卡原理之上的，便是殆巨大基数。

    理论上来讲，若一个基数k为殆巨大基数，那么对于任何的正则基数λ＞k，就都会存在一个λ-完全的超滤子u在pk(λ)上，继而使得对于任何x?pk(λ)。

    同时，若x在u中是成立的，那么亦会存在一个函数f:λ→k，继而使得对于任何a<λ，x中都会存在y，进而使得ynxa=?，并且f「y?xa。

    可以说，这种殆巨大基数的性质之强大，甚至可以让其能够推出并证明，像是可测基数、强基数、超紧基数等等诸多「更小」大基数的性质与一致性强度。

    而位于殆巨大基数之上，与超巨大基数之下的巨大基数，其数理本质则是……v中存在的一个初等嵌入j:v→m从v到一个具有临界点k的可传递内模型。

    这其中所提到的「初等嵌入」概念，简单来说，便是定义在两个集合论域间的一种映射。

    或者说，初等嵌入即是一种能够保持集合结构的函数，它不仅保持元素之间的关系，还会保持逻辑形式的关系。

    举例说明，给定两个集合m和n，若存在一个映射j：m→n，使得对于任意m中的公式φ和参数a，m中φ[a]成立当且仅当n中φ[j(a)]成立，那么便可称j是一个从m到n的初等嵌入。

    至于巨大基数的数理结构，便是假若a是一个极限序数，使得a＞0，那么便可以说一个不可数的正则基数k是a-巨大的。

    同时，若存在一个基数〈k?:β＜a〉这样的递增序列，那么对于所有的β＜a即是vk??vk。

    随后，如果n＞1，以及〈β?:i＜n〉是一个小于a的序数的递增序列，那么β?≠0，这对于所有的β"＜β?，就都存在一个初等嵌入j:vk?????vk????，和临界点k?"与j(k?")=k??与j(k??)=k????。

    尔后，若0≤i
    临界点k"
    在此，便终于可引入超巨大基数概念了——

    即，若一个基数k是k-巨大的，就可称其为超巨大基数。

    更进一步说，一个基数k被称为超巨大，如果存在一个从vk到vk的初等嵌入，那么其中vk就是所有秩小于或等于k的集合所组成的巨大逻辑模型。

    而超巨、巨大、殆巨三者的关系，则便是——若k是巨大基数，就存在一个位于k上的正规超滤子u，使得{a
    与此同时，在到达了巨大基数以及超巨大基数的层面后，亦会与名为i3、i2、i1与i0的这几个公理产生密切关联。

    所谓公理i3，便是：存在vλ到自身的非平凡基本嵌入；

    至于公理i2，是：v存在一个非平凡基本嵌入到包含vλ的传递类m，λ为临界点上方的第一个不动点；

    公理i1，则是：vλ+1到自身的非平凡基本嵌入；

    公理i0，即是：存在l(vλ+1)的非平凡基本嵌入，其临界点<λ公理。
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